1.全微分的定义是给二元函数的，它们都存在。从一元微分学中函数增量与微分的关系可知，上述两个公式的左端称为二元函数对或的偏增量，右端称为二元函数对或的偏微分。

2.为了研究因变量所获得的增量，即总增量，当多元函数中的所有自变量都是增量时，我们首先给出函数总增量的概念。

3.【定义】如果在一个点的邻域中定义了一个二元函数，并且该点是邻域中的任意一点，则这两个点的函数值之差称为该点上自变量的增量和之和对应的函数的全增量，记为。

4、即（1）一般来说，总增量的计算往往比较复杂。参考一元微分函数的做法，我们希望用自变量增量和的线性函数近似代替，并引入以下定义。

5.【定义】如果函数在一点的全增量可以表示为（2），其中，不依赖于且仅与有关，则称函数在一点可微。

6.它叫做函数在一点的全微分，记为2。函数可微的条件【定理1】（必要条件）若函数在一点可微，则函数在一点的偏导数一定存在，函数在一点的全微分为（3）证明:设函数在一点可微。

7.因此，对于点的某个邻域中的任何点，等式（2）始终成立。

8.特别地，在那时，等式（2）也成立。这时，也就是那时，偏导数存在并且等于。

9.以同样的方式，公式（3）可以被证明。

10.【定理2】（充分条件）如果函数的偏导数之和在一点连续，则函数在该点可微分。

11.证明:因为在该点的偏导数是连续的，所以它存在于该点的某个邻域内。

12、设为邻域内任意一点，则拉格朗日中值定理应用于该点的连续性，所以，其中。

13，所以同样可以证明，其中。因此，总增量可以表示为，即使它接近于零。

14.因此，函数可以在点上微分。

15.三、几个关系（1）如果函数在一点可微，则函数在该点连续。

16.事实上。

17.注意对等。

18.（2）函数偏导数的存在只是函数全微分存在的必要条件，而不是充分条件。

19.【反例1】若函数在一点相似，而该点沿直线逼近，则不能逼近，即此时不是高阶无穷小，故函数在该点的全微分不存在。

20.（3）如果函数在某点可微，则偏导数在该点存在但不一定连续。

21.【反例2】函数在点上可微分，但偏导数在点上不连续。

22.证明（如果）函数的微分存在。

23、当点沿直线趋向时，极限不存在。

24，所以它不存在，它在点上是不连续的。

25.基于以上讨论，我们得出结论。最后，我们指出上述概念、定理和结论应推广到两个以上变量的函数。

26.传统上，我们用记号和符号作为自变量的微分，这样函数的全微分可以写成（4）。通常我们称二元函数的全微分为其两个偏微分之和，即公式（4）称为二元函数微分的叠加原理。

27.叠加原理也适用于具有两个以上变量的函数。如果三元函数可以求导，那么【例1】求出函数的全微分。

28.解:因为，那么【例2】计算函数在该点的全微分。

29、解决方案:，因此。

本文到此结束，希望对亲爱的朋友们有所帮助。

亲爱的朋友们大家好，小汤圆来为亲爱的朋友们解答以上问题。全微分公式法，全微分公式，这很多人还不知道，现在让我们来看看吧！